Тодорхой интеграл

Ньютон - Лейбницийн Теорем (1-р хэсэг)

[a, b] завсар дээр интегралтай f функц байг. Бас гэе. Хэрвээ f нь [a, b] завсарын дурын c дээр тасралтгvй бол F(c) нь c дээр уламжлалтай ба F'(c)=f(c).

Баталгаа

c=a, с=b тохиолдолыг дасгал болгож vлдээх учраас бид с (a, b) завсард байх тохиолдолыг батлана. Тодорхойлолт ёсоор

байдаг. h > 0 гэвэл

байна.

m_h = inf {f(x) : c  x  c+h}
M_h = sup {f(x) : c  x  c+h}

гэж тодорхойлвол 25-р теорем ёсоор

байна. h<0 тохиолдолыг энэ мэтээр бодоод бас л (1) тэнцэтгэл биштэй хоцроно. f функц c дээр тасралтгvй болохлээр, тодорхойлолт ёсоор

байна. F'(c) нь f(c) функцээс их (тэнцvv байж болно), бас бага (бас л тэнцvv байж болно) учраас эцсийн эцэст F'(c)=f(c) л байж таарна!

Энэ теоремийг яагаад vнэн гэдгийг зvгээр хар ухаанаар харж болно. F(x) функц чинь f функцийг зvvн, баруун талруу явахад vvссэн дvрсийн талбай учраас F - ийн уламжлал, єєрєєр хэлбэл тэр агшин зуурт "бий болсон" талбай нь яг тэр мєчдєх f - ийн утга л байж таараа.

Бас нэг юмийг ажиглаж болно. Хэрвээ

бол G'(c) = -f(c) байна. Хэрвээ x<a бол бидний тvрvvний тодорхойлсон F функцийн фувьд

байна. Тиймээс, хэрвээ с<a бол F'(c) = -(-f(c)) = f(c) буюу, дээрх теорем нь c<a vед ч биелэнэ.

Харин энэ теоремоор бид шууд очоод интегралуудыг бодчихож чадахгvй. Харин чи нэг юмийг анзаарсан бол дээрх теоремийг дєнгєж 1-р хэсэг нь гэж байгаа.

Ньютон - Лейбницийн Теорем (2-р хэсэг)

f нь [a, b] дээр интегралтай бєгєєд, f=g' бол

Баталгаа

Жич: Дээрх теоремийн f функц нь [a, b] дээр тасралтгvй тохиолдолын батлагаа нь доорх батлагаанаас хамаагvй амар. (Энийг бас дасгал болгож vлдээнэ.) Бидний авч vзэж байгаа энэ теорем бол f функц нь [a, b] дээр интегралтай гэсэн ерєнхий тохиолдол нь байна. (Яагаад ерєнхий тохиолдол нь болохыг энэний дараагийн теорем хэлж єгнє.)

[a, b] завсарын дурын хуваалт P байг. 11-р теорем ёсоор [t_i-t_i-1] завсараас

тэнцэтгэлvvдийг хангах x_i олдоно. Хэрвээ

m_h = inf {f(x) : c  x  c+h}
M_h = sup {f(x) : c  x  c+h}

бол

байх нь ойлгомжтой байна. Эдгээрийг i=1,...,n - ийн хувьд бvгдийг нь нэмвэл

болж байна. Єєрєєр хэлбэл, L(f,P)  g(b) - g(a)  U(f,P) байна.

Нэг анхааруулга: Энэ бол интегралын тодорхойлолт БИШ шvv! Яагаад гэвэл f функц интегралтай мєртлєнгєєсєє єєр функцийн уламжлал биш байж болно. (Жишээ нь f(x) = {x=1 бол 1, х0 бол 0}.)

За одоо хэдэн жишээгээр яагаад энэ теорем vнэхээр хэрэгтэй, чухал болохыг vзvvлэе. Бид дээр x² функцийн интегралын олох гэж хичнээн зовлоо... Одоо харин g'(x)=x² функц олох хэрэгтэй. g(x)=x³/3+c хэлбэрийн функц болохыг хялбарханаар шалгаж болно. (c гэдэг нь зvгээр л ямар нэгэн тоо.) Хэдийгээр яг нарийн байхын тулд c - г бичих хэрэгтэй болов ч, практикт c - г орхиход муудаад байдаггvй. Харин одоо Ньютон - Лейбницийн Теорем (Н.Л.Т) ёсоор

байна. Ер нь, хэрвээ n-1 бол (бас одоохондоо бид дєнгєж n натурал тоо байх тохиолдолыг нь л мэдэж байгаа)

болохыг харж болно. g(x) функцийг олох vйлдлийг интегралчихал vйлдэл гэдэг ба энэ нь бидний дараагийн хичээлийн сэдэв болно.

Интеграл чухал уу? Чухал. Хариултаа бид ирэх хичээлvvддээ баттагасаар явна.

Бид бас нэг юмийг хэлэх ёстой. F(x) чинь бас л нэг функц юм чинь бид дээр vзэж байсан шигээ энэ функцэнд єєр функцийг оруулж давхар функцийг гаргаж авч чадна. Уламжлалын олдог 8-р теорем энд бас л хэрэгтэй болно. Хоёр жишээ дурдая: